目录

一、树概念及结构(了解) 

1.1树的概念 

1.2树的表示 

二、二叉树概念及结构 

2.1概念 

2.2现实中的二叉树：

2.3数据结构中的二叉树：

2.4特殊的二叉树： 

2.5 二叉树的存储结构 

2.51 顺序存储： 

2.5.2 链式存储：

三、二叉树性质相关选择题练习 

四、二叉树的实现

4.1头文件：

4.2Test.c

4.3前序，中序，后序(深度优先遍历)

 4.4二叉树所有节点的个数

​编辑

4.5叶节点的个数

4.6层序遍历(广度优先遍历，使用队列)

一、树概念及结构(了解) 

1.1树的概念 

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它

叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此，树是递归定义的。

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如下图：A的为6

• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B 的父节点

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节 点

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

  关于树的高度，还有一种看法，就是把高度从0开始看，此时树的高度为3。

  • 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

  • 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

  • 森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是 一个森林）

    1.2树的表示 

    树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

    typedef int DataType;

    struct Node

    {

        struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点

        struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点

        DataType _data;               // 结点中的数据域

    };

    

    另一种方式：顺序表存孩子的指针（不推荐使用）

    struct TreeNode

    {

            int data;

            vector childs;

    }

    还有一种表示方式，双亲表示法:

    双亲表示法采用顺序表（数组）存储普通树，其实现的核心思想是：顺序存储各个节点的同时，给各节点附加一个记录其父节点位置的变量。

    #define MAX_SIZE 100  // 宏定义树中结点的最大数量

     

    typedef struct Snode{

        char data;

        int parent;

    } PTNode;

     

    typedef struct{

        PTNode tnode[MAX_SIZE];  // 存放树中所有结点

        int n;  // 结点数

    } PTree;

    

    1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构） 

    

    二、二叉树概念及结构 

    2.1概念 

    一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子

    树和右子树的二叉树组成。

    二叉树的特点：

    1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。

    2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

    

    2.2现实中的二叉树：

    

    2.3数据结构中的二叉树：

    

    

    2.4特殊的二叉树： 

    1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉

    树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

    2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对

    于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号

    从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉

    树。

    

    

    2.5 二叉树的存储结构 

    二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

    二叉树的性质 

    1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

    2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.

    3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2

    ＋1

    4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=logN + 1

    2.51 顺序存储： 

    顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树

    会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲

    解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

    

    2.5.2 链式存储：

    二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的

    方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩

    子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都

    是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

    

    三、二叉树性质相关选择题练习 

    1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ 

    ）

    A ABDHECFG

    B ABCDEFGH

    C HDBEAFCG

    D HDEBFGCA

    2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为

    （）

    A E

    B F

    C G

    D H

    3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。

    A adbce

    B decab

    C debac

    D abcde

    

    1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

    A 不存在这样的二叉树

    B 200

    C 198

    D 199

    2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

    A n

    B n+1

    C n-1

    D n/2

    3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

    A 11

    B 10

    C 8

    D 12

     

    

    

    四、二叉树的实现

    4.1头文件：

    #pragma once
    #include 
    #include 
    #include 
    #include 
    typedef int BTDataType;
    typedef struct BinaryTreeNode
    {
    	struct BinaryTreeNode* left;
    	struct BinaryTreeNode* right;
    	BTDataType data;
    }BTNode;

    4.2Test.c

    int main()
    {
    	char str[100]; // 存储节点值的字符串  
    	scanf("%s", str); // 读取输入字符串，注意应该直接传入数组名
    	int i = 0; // 索引初始化为0  
    	BTNode* root = CreatTree(str, &i); // 创建二叉树，并将根节点赋值给root  
    	PrevOrder(root); // 前序遍历二叉树并输出结果  
    	printf("\n");
    	InOrder(root);//  中序遍历二叉树并输出结果
    	printf("\n");
    	PostOrder(root);//  后序遍历二叉树并输出结果
    	printf("\n");
    }

    4.3创建一个二叉树

    // 创建一个二叉树的函数，a是包含节点值的字符串，pi是指向当前要处理的字符的索引的指针  
    BTNode* CreatTree(char* a, int* pi)
    {
    	// 如果当前字符是'#'，表示这是一个空节点  
    	if (a[*pi] == '#')
    	{
    		++(*pi); // 增加索引  
    		return NULL; // 返回空指针表示这是一个空节点  
    	}
    	// 为新节点分配内存  
    	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    	if (root == NULL)
    	{
    		printf("malloc fail\n"); // 如果分配失败，输出错误信息  
    		exit(-1); // 退出程序  
    	}
    	// 设置节点的值，并增加索引  
    	root->data = a[*pi];
    	++(*pi);
    	// 递归地创建左子树和右子树  
    	root->left = CreatTree(a, pi);
    	root->right = CreatTree(a, pi);
    	return root; // 返回新创建的节点
    }

    4.4前序，中序，后序(深度优先遍历)

    

    // 先序遍历二叉树  
    void PrevOrder(BTNode* root)
    {
    	// 如果当前节点为空，则打印"NULL"并返回  
    	if (root == NULL)
    	{
    		printf("NULL ");
    		return;
    	}
    	// 访问当前节点的数据  
    	printf("%c ", root->data);
    	// 递归遍历左子树  
    	PrevOrder(root->left);
    	// 递归遍历右子树  
    	PrevOrder(root->right);
    }
    // 中序遍历二叉树  
    void InOrder(BTNode* root)
    {
    	// 如果当前节点为空，则打印"NULL"并返回  
    	if (root == NULL)
    	{
    		printf("NULL ");
    		return;
    	}
    	// 递归遍历左子树  
    	InOrder(root->left);
    	// 访问当前节点的数据  
    	printf("%c ", root->data);
    	// 递归遍历右子树  
    	InOrder(root->right);
    }
    // 后序遍历二叉树  
    void PostOrder(BTNode* root)
    {
    	// 如果当前节点为空，则打印"NULL"并返回  
    	if (root == NULL)
    	{
    		printf("NULL ");
    		return;
    	}
    	// 递归遍历左子树  
    	PostOrder(root->left);
    	// 递归遍历右子树  
    	PostOrder(root->right);
    	// 访问当前节点的数据  
    	printf("%c ", root->data);
    }

    

     4.4二叉树所有节点的个数

     

    //方法一:定义全局变量(不推荐)
    // 全局变量，用于记录树的大小（节点数）  
    // 注意：使用全局变量通常不是好的做法，应该尽量避免  
    int size = 0;  
      
    // 计算二叉树的大小（节点数）
    void TreeSize(BTNode* root)  
    {  
    	// 如果节点为空，则不计算大小，直接返回  
    	if (root == NULL)  
    	{  
    		return; // 在 void 函数中这样写是可以的，但如果是 int 类型函数则需要返回一个整数值  
    	}  
    	else {  
    		// 节点非空，增加 size 的计数  
    		++size;  
    	}  
      
    	// 递归计算左子树的大小  
    	TreeSize(root->left);  
    	// 递归计算右子树的大小  
    	TreeSize(root->right);  
    	
    }

    方法二:传址调用

    // 定义TreeSize函数，用于计算二叉树的大小（节点数）  
    // 参数：root - 指向二叉树根节点的指针；psize - 指向一个整数的指针，用于存储节点数  
    void TreeSize(BTNode* root, int* psize)  
    {  
    	// 如果根节点为空（即树为空），则直接返回，不执行任何操作  
    	if (root == NULL)  
    	{  
    		return;  
    	}  
    	else // 如果根节点不为空（即树非空）  
    	{  
    		// 通过解引用psize指针来递增其指向的整数值，表示当前节点被计数  
    		++(*psize);  
    	}  
      
    	// 递归调用TreeSize函数来计算左子树的大小  
    	TreeSize(root->left, psize);  
    	// 递归调用TreeSize函数来计算右子树的大小  
    	TreeSize(root->right, psize);  
    }

    方法三:递归、分治思想:

    否则，返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 1（当前节点）

    int TreeSize(BTNode* root)
    {
        // 如果树为空（即根节点为NULL），则返回0  
        // 否则，返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 1（当前节点）
        return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
    }

    

    4.6叶节点的个数

    int LeafSize(BTNode* root)
    {
    	if (root == NULL)
    		return 0;
    	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
    		return 1;
    	return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right);
    }
    // 计算二叉树中叶子节点的数量（但存在错误）  
    int LeafSize(BTNode* root)  
    {  
        // 如果当前节点为空，说明不是叶子节点，返回0  
        if (root == NULL)  
            return 0;  
      
        // 如果当前节点既没有左子树也没有右子树，那么它是一个叶子节点，返回1  
        if (root->left == NULL && root->right == NULL)  
            return 1;  
      
        // 递归计算左子树和右子树中的叶子节点数量，并返回它们的和
        return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right); 
    }

    

    4.7层序遍历(广度优先遍历，使用队列)

    

    

    这是使用的队列的代码

    //队列初始化
    void QueueInit(Queue* pq)
    {
    	assert(pq);
    	pq->head = pq->tail = NULL;
    }
    //队列的销毁
    void QueueDestory(Queue* pq)
    {
    	assert(pq);
    	QNode* cur = pq->head;
    	while (cur)
    	{
    		QNode* next = cur->next;
    		free(cur);
    		cur = next;
    	}
    	pq->head = pq->tail = NULL;
    }
    // 队尾入
    void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
    {
    	assert(pq);
    	QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
    	if (newnode == NULL)
    	{
    		printf("malloc fail\n");
    		exit(-1);
    	}
    	newnode->data = x;
    	newnode->next = NULL;
    	if (pq->tail == NULL)
    	{
    		pq->head = pq->tail = newnode;
    		//表示这是第一个节点
    	}
    	else
    	{
    		pq->tail->next = newnode;
    		//tail的后面加上新节点
    		pq->tail = newnode;
    		//再让tail指向newnode
    	}
    }
    // 队头出
    void QueuePop(Queue* pq)
    {
    	
    	assert(pq);
    	assert(pq->head);
    	// 1、一个
    	// 2、多个
    	if (pq->head->next == NULL)
    	{
    		free(pq->head);//释放队头的空间
    		pq->head = pq->tail = NULL;
    		//队列为空
    	}
    	else
    	{
    		QNode* next = pq->head->next;
    		//存储队头下一个节点的空间
    		free(pq->head);
    		//释放队头的空间
    		pq->head = next;
    		//让队头指向之前队头的下一个节点
    	}
    }
    //队头数据
    QDataType QueueFront(Queue* pq)
    {
    	assert(pq);
    	assert(pq->head);
    	return pq->head->data;
    }
    //队尾数据
    QDataType QueueBack(Queue* pq)
    {
    	assert(pq);
    	assert(pq->head);
    	return pq->tail->data;
    }
    //队列数据个数
    int QueueSize(Queue* pq)
    {
    	assert(pq);
    	int size = 0;
    	QNode* cur = pq->head;
    	while (cur)
    	{
    		++size;
    		cur = cur->next;
    	}
    	return size;
    }
    //判断队列是否为空
    bool QueueEmpty(Queue* pq)
    {
    	assert(pq);
    	return pq->head == NULL;
    }

    // 层序遍历二叉树  
    void LevelOrder(BTNode* root)  
    {  
        // 定义一个队列q  
    	Queue q;  
        // 初始化队列  
    	QueueInit(&q);  
        // 如果根节点不为空  
    	if (root)  
    	{  
            // 将根节点入队  
    		QueuePush(&q, root);  
    	}  
        // 当队列不为空时循环  
    	while (!QueueEmpty(&q))  
    	{  
            // 取出队列的队首元素，但不从队列中移除  
    		BTNode* front = QueueFront(&q);    
      
            // 从队列中移除队首元素  
    		QueuePop(&q);  
            // 访问队首元素的数据  
    		printf("%c ", front->data);  
      
            // 如果队首元素有左子节点，将左子节点入队  
    		if (front->left)  
    		{  
    			QueuePush(&q, front->left);  
    		}  
            // 如果队首元素有右子节点，将右子节点入队  
    		if (front->right)  
    		{  
    			QueuePush(&q, front->right);  
    		}  
    	}  
        // 销毁队列，释放其占用的资源  
    	QueueDestory(&q); 
    }

    ​​​​​​​​​​​​​​

    新年第一篇！！！

    祝大家新年快乐

    

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