题目来源

3311 -- Hie with the Pie (poj.org)

题目描述

Pizazz披萨店以尽可能快地将披萨送到顾客手中而自豪。

不幸的是，由于削减开支，他们只能雇一个司机来送货。

司机将等待 1 个或更多 (最多10个) 订单被下达后再开始送餐。

不用说，他想要走最短的路线来运送这些食物并返回披萨店，即使这意味着在途中不止一次地经过同一地点或披萨店。

他委托你写一个程序来帮助他。

输入描述

输入将由多个测试用例组成。

• 第一行将包含单个整数 n，表示要送货的订单数量，其中 1 ≤ n ≤ 10。
• 在此之后，将有 n + 1 行，每一行包含 n + 1 个整数，表示从披萨店 (编号为0) 到 n 个位置 (编号为 1 到 n)  之间的送餐时间。
  

  第 i 行上的第 j 个值表示直接从位置 i 到位置 j 而不经过沿途任何其他位置的时间。

  请注意，由于不同的速度限制，交通信号灯等，经过其他位置的中转，可能实现更快地从 i 到 j。

  此外，时间值可能不对称，即直接从位置 i 到 j 的时间可能与直接从位置 j 到 i 的时间不相同。

  输入值 n = 0 将终止输入。

  输出描述

  对于每个测试用例，您应该输出单个数字，指示交付所有披萨并返回披萨店所需的最短时间。

  用例

  输入	3 0 1 10 10 1 0 1 2 10 1 0 10 10 2 10 0 0
  输出	8
  说明	无

  题目解析

  本题第二行~倒数第二行的输入其实就是一个 (n+1) * (n+1) 的邻接矩阵，我们定义其为dist矩阵。

  dist[i][j] 表示客户位置 i 到 客户位置 j 的距离。

  本题需要我们帮助司机找到一条最短路径，该最短路径需要满足：

  • 从披萨店（位置0）出发，最终返回披萨店
  • 经过所有客户位置，每个客户位置可以经过不止一次

    首先，这题需要我们经过所有客户位置，因此我们对 1~n 客户位置求解全排列，每一个全排列即代表一种送餐策略路径，比如n=3，则有以下送餐策略路径：

    • 1->2->3
    • 1->3->2
    • 2->1->3
    • 2->3->1
    • 3->1->2
    • 3->2->1

      我们在这些全排列首尾加上0，即可得所有送餐策略路径：

      • 0->1->2->3->0
      • 0->1->3->2->0
      • 0->2->1->3->0
      • 0->2->3->1->0
      • 0->3->1->2->0
      • 0->3->2->1->0

        由于本题的 1 ≤ n ≤ 10 ，因此全排列求解不会超时。

        得到所有的送餐策略路径后，我们需要求解每种策略路径对应的送餐距离，

        如果想要每种策略的送餐距离尽可能小，则我们应该保证路径中相邻两点之间的距离尽可能的小。

        而求解图中任意两点间的最短距离，最佳策略是使用floyd算法。

        关于floyd算法可以看下：最短路径算法全套(floyed+dijstra+Bellman+SPFA)_哔哩哔哩_bilibili

        最终，我们基于floyd算法，求得上面每个全排列路径的最短距离，在这些最短距离中最小的即为题解。

        JS算法源码

        const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });
        var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();
        const readline = async () => (await iter.next()).value;
        void (async function () {
          while (true) {
            const n = parseInt(await readline());
            if (n == 0) break;
            // floyd算法需要基于dist和path矩阵求解
            // dist[i][j] 用于记录点 i->j 的最短距离，初始时等价于邻接矩阵
            const dist = [];
            // path[i][j] 用于记录点 i->j 最短距离情况下需要经过的中转点，初始时默认任意两点间无中转点，即默认path[i][j] = -1
            const path = [];
            for (let i = 0; i < n + 1; i++) {
              dist.push((await readline()).split(" ").map(Number));
              path.push(new Array(n + 1).fill(-1));
            }
            // floyd算法调用
            floyd();
            // ans记录经过所有点后回到出发点的最短距离
            let ans = Infinity;
            // 全排列模拟经过所有点的路径
            dfs(0, 0, new Array(n + 1).fill(false), 0);
            console.log(ans);
            // floyd算法求解图中任意两点之间的最短路径
            function floyd() {
              for (let k = 0; k < n + 1; k++) {
                for (let i = 0; i < n + 1; i++) {
                  for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
                    // newDist是经过k后，i->j的距离
                    const newDist = dist[i][k] + dist[k][j];
                    // 如果newDist是i->j的更短路径
                    if (newDist < dist[i][j]) {
                      // 则更新i->j的最短距离
                      dist[i][j] = newDist;
                      // 且此更短距离需要经过k, path[i][j]即记录 i->j 最短距离下需要经过点 k
                      path[i][j] = k;
                    }
                  }
                }
              }
            }
            /**
             * 找一条经过所有点的最短路径，我们可以求解所有点形成的全排列，每一个全排列都对应一条经过所有点的路径，只是经过点的先后顺序不同 //
             * 求某个全排列过程中，可以通过dist数组，累计上一个点i到下一个点j的最短路径dist[i][j]
             *
             * @param pre 上一个点, 初始为0，表示从披萨店出发
             * @param sum 当前全排列路径累计的路径权重
             * @param used 全排列used数组，用于标记哪些点已使用过
             * @param level 用于记录排列的长度
             */
            function dfs(pre, sum, used, level) {
              if (level == n) {
                // 此时pre是最后一个客户所在点，送完最后一个客户后，司机需要回到披萨店，因此最终累计路径权重为 sum + dist[pre][0]
                // 我们保留最小权重路径
                ans = Math.min(ans, sum + dist[pre][0]);
                return;
              }
              for (let i = 1; i <= n; i++) {
                if (used[i]) continue;
                used[i] = true;
                dfs(i, sum + dist[pre][i], used, level + 1);
                used[i] = false;
              }
            }
          }
        })();
        

        Java算法源码

        import java.util.Scanner;
        public class Main {
          static int n;
          static int[][] dist;
          static int[][] path;
          static int ans;
          public static void main(String[] args) {
            Scanner sc = new Scanner(System.in);
            while (sc.hasNextInt()) {
              n = sc.nextInt();
              if (n == 0) break;
              // floyd算法需要基于dist和path矩阵求解
              // dist[i][j] 用于记录点 i->j 的最短距离，初始时等价于邻接矩阵
              dist = new int[n + 1][n + 1];
              // path[i][j] 用于记录点 i->j 最短距离情况下需要经过的中转点，初始时默认任意两点间无中转点，即默认path[i][j] = -1
              path = new int[n + 1][n + 1];
              for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
                for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
                  dist[i][j] = sc.nextInt();
                  path[i][j] = -1;
                }
              }
              // floyd算法调用
              floyd();
              // ans记录经过所有点后回到出发点的最短距离
              ans = Integer.MAX_VALUE;
              // 全排列模拟经过所有点的路径
              dfs(0, 0, new boolean[n + 1], 0);
              System.out.println(ans);
            }
          }
          // floyd算法求解图中任意两点之间的最短路径
          public static void floyd() {
            for (int k = 0; k < n + 1; k++) {
              for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
                for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
                  // newDist是经过k后，i->j的距离
                  int newDist = dist[i][k] + dist[k][j];
                  // 如果newDist是i->j的更短路径
                  if (newDist < dist[i][j]) {
                    // 则更新i->j的最短距离
                    dist[i][j] = newDist;
                    // 且此更短距离需要经过k, path[i][j]即记录 i->j 最短距离下需要经过点 k
                    path[i][j] = k;
                  }
                }
              }
            }
          }
          /**
           * 找一条经过所有点的最短路径，我们可以求解所有点形成的全排列，每一个全排列都对应一条经过所有点的路径，只是经过点的先后顺序不同 //
           * 求某个全排列过程中，可以通过dist数组，累计上一个点i到下一个点j的最短路径dist[i][j]
           *
           * @param pre 上一个点, 初始为0，表示从披萨店出发
           * @param sum 当前全排列路径累计的路径权重
           * @param used 全排列used数组，用于标记哪些点已使用过
           * @param level 用于记录排列的长度
           */
          public static void dfs(int pre, int sum, boolean[] used, int level) {
            if (level == n) {
              // 此时pre是最后一个客户所在点，送完最后一个客户后，司机需要回到披萨店，因此最终累计路径权重为 sum + dist[pre][0]
              // 我们保留最小权重路径
              ans = Math.min(ans, sum + dist[pre][0]);
              return;
            }
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
              if (used[i]) continue;
              used[i] = true;
              dfs(i, sum + dist[pre][i], used, level + 1);
              used[i] = false;
            }
          }
        }
        

        Python算法源码

        import sys
        # floyd算法求解图中任意两点之间的最短路径
        def floyd():
            for k in range(n + 1):
                for i in range(n + 1):
                    for j in range(n + 1):
                        # newDist是经过k后，i->j的距离
                        newDist = dist[i][k] + dist[k][j]
                        # 如果newDist是i->j的更短路径
                        if newDist < dist[i][j]:
                            # 则更新i->j的最短距离
                            dist[i][j] = newDist
                            # 且此更短距离需要经过k, path[i][j]即记录 i->j 最短距离下需要经过点 k
                            path[i][j] = k
        def dfs(pre, sumDis, used, level):
            """
            找一条经过所有点的最短路径，我们可以求解所有点形成的全排列，每一个全排列都对应一条经过所有点的路径，只是经过点的先后顺序不同 //
            求某个全排列过程中，可以通过dist数组，累计上一个点i到下一个点j的最短路径dist[i][j]
            :param pre: 上一个点, 初始为0，表示从披萨店出发
            :param sumDis: 当前全排列路径累计的路径权重
            :param used: 全排列used数组，用于标记哪些点已使用过
            :param level: 用于记录排列的长度
            """
            global ans
            if level == n:
                # 此时pre是最后一个客户所在点，送完最后一个客户后，司机需要回到披萨店，因此最终累计路径权重为 sum + dist[pre][0]
                # 我们保留最小权重路径
                ans = min(ans, sumDis + dist[pre][0])
                return
            for i in range(1, n + 1):
                if used[i]:
                    continue
                used[i] = True
                dfs(i, sumDis + dist[pre][i], used, level + 1)
                used[i] = False
        while True:
            n = int(input())
            if n == 0:
                break
            # floyd算法需要基于dist和path矩阵求解
            # dist[i][j] 用于记录点 i->j 的最短距离，初始时等价于邻接矩阵
            dist = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n + 1)]
            # path[i][j] 用于记录点 i->j 最短距离情况下需要经过的中转点，初始时默认任意两点间无中转点，即默认path[i][j] = -1
            path = [[-1] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
            # floyd算法调用
            floyd()
            # ans记录经过所有点后回到出发点的最短距离
            ans = sys.maxsize
            # 全排列模拟经过所有点的路径
            dfs(0, 0, [False] * (n + 1), 0)
            print(ans)
        

        C算法源码

        POJ的C编译器估计有点老了，很多语法和内置库都无法用，下面是适配修改后可以AC的代码

        #include 
        #include 
        #define MIN(a,b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
        #define MAX_SIZE 11
        int n;
        int dist[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
        int path[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
        int ans;
        int used[MAX_SIZE];
        /**
           * 找一条经过所有点的最短路径，我们可以求解所有点形成的全排列，每一个全排列都对应一条经过所有点的路径，只是经过点的先后顺序不同 //
           * 求某个全排列过程中，可以通过dist数组，累计上一个点i到下一个点j的最短路径dist[i][j]
           *
           * @param pre 上一个点, 初始为0，表示从披萨店出发
           * @param sum 当前全排列路径累计的路径权重
           * @param used 全排列used数组，用于标记哪些点已使用过
           * @param level 用于记录排列的长度
           */
        void dfs(int pre, int sum, int used[], int level) {
            int i;
            if (level == n) {
                // 此时pre是最后一个客户所在点，送完最后一个客户后，司机需要回到披萨店，因此最终累计路径权重为 sum + dist[pre][0]
                // 我们保留最小权重路径
                ans = MIN(ans, sum + dist[pre][0]);
                return;
            }
            for (i = 1; i <= n; i++) {
                if (used[i]) continue;
                used[i] = 1;
                dfs(i, sum + dist[pre][i], used, level + 1);
                used[i] = 0;
            }
        }
        // floyd算法求解图中任意两点之间的最短路径
        void floyd() {
            int i, j, k;
            for (k = 0; k < n + 1; k++) {
                for (i = 0; i < n + 1; i++) {
                    for (j = 0; j < n + 1; j++) {
                        // newDist是经过k后，i->j的距离
                        int newDist = dist[i][k] + dist[k][j];
                        // 如果newDist是i->j的更短路径
                        if (newDist < dist[i][j]) {
                            // 则更新i->j的最短距离
                            dist[i][j] = newDist;
                            // 且此更短距离需要经过k, path[i][j]即记录 i->j 最短距离下需要经过点 k
                            path[i][j] = k;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        int main() {
            while (1) {
                int i, j;
                scanf("%d", &n);
                if (n == 0) {
                    break;
                }
                // floyd算法需要基于dist和path矩阵求解
                for (i = 0; i < n + 1; i++) {
                    for (j = 0; j < n + 1; j++) {
                        // dist[i][j] 用于记录点 i->j 的最短距离，初始时等价于邻接矩阵
                        scanf("%d", &dist[i][j]);
                        // path[i][j] 用于记录点 i->j 最短距离情况下需要经过的中转点，初始时默认任意两点间无中转点，即默认path[i][j] = -1
                        path[i][j] = -1;
                    }
                }
                // floyd算法调用
                floyd();
                // ans记录经过所有点后回到出发点的最短距离
                ans = INT_MAX;
                // 全排列模拟经过所有点的路径
                for (i = 0; i < n + 1; i++) used[i] = 0;
                dfs(0, 0, used, 0);
                printf("%d\n", ans);
            }
        }

         
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