算法沉淀——BFS 解决拓扑排序

• 01.课程表
• 02.课程表 II
• 03.火星词典

  Breadth-First Search (BFS) 在拓扑排序中的应用主要是用来解决有向无环图（DAG）的拓扑排序问题。拓扑排序是对有向图中所有节点的一种线性排序，使得对于每一条有向边 (u, v)，节点 u 在排序中都出现在节点 v 的前面。如果图中存在环路，则无法进行拓扑排序。

  BFS 解决拓扑排序的步骤如下：

  1. 统计每个节点的入度（in-degree），即指向该节点的边的数量。
  2. 将所有入度为 0 的节点加入队列。
  3. 对于每个入度为 0 的节点，依次出队，更新其相邻节点的入度，将入度变为 0 的节点加入队列。
  4. 重复步骤 3 直到队列为空。

  如果最终遍历过的节点数等于图中的节点数，说明图是有向无环图，可以得到一个拓扑排序。

  01.课程表

  题目链接：https://leetcode.cn/problems/course-schedule/

  你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

  在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

  • 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

    请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

    示例 1：

    输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
    输出：true
    解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。
    

    示例 2：

    输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
    输出：false
    解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。
    

    提示：

    • 1 <= numCourses <= 2000
    • 0 <= prerequisites.length <= 5000
    • prerequisites[i].length == 2
    • 0 <= ai, bi < numCourses
    • prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

      思路

      这里我们可以采用容器模拟邻接矩阵或者邻接表来进行拓扑排序，判断这个图是否有环的方式来解决这个问题

      代码

      class Solution {
      public:
          bool canFinish(int numCourses, vector>& prerequisites) {
              unordered_map> edges;
              vector in(numCourses,0);
              for(vector& e:prerequisites){
                  int a=e[0],b=e[1];
                  edges[b].push_back(a);
                  in[a]++;
              }
              queue q;
              for(int i=0;i
                  int t=q.front();
                  q.pop();
                  for(int e:edges[t]){
                      in[e]--;
                      if(in[e]==0) q.push(e);
                  }
              }
              for(int i:in) if(i) return false;
              return true;
          }
      };
      

      1. 使用一个哈希表 edges 存储有向图的边，其中 edges[b] 表示节点 b 指向的所有节点。
      2. 使用数组 in 记录每个节点的入度。初始化时，将所有节点的入度设为 0。
      3. 遍历先修课程的关系，构建有向图并更新入度数组。
      4. 将入度为 0 的节点加入队列 q。
      5. 使用 BFS 进行拓扑排序，从入度为 0 的节点开始，依次出队，并将其邻接节点的入度减 1。如果邻接节点的入度减为 0，将其加入队列。
      6. 如果最终所有节点的入度都为 0，说明图中不存在环，可以完成所有课程，返回 true；否则，返回 false。

      02.课程表 II

      题目链接：https://leetcode.cn/problems/course-schedule-ii/

      现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前 必须 先选修 bi 。

      • 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1] 。

        返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。

        示例 1：

        输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
        输出：[0,1]
        解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
        

        示例 2：

        输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
        输出：[0,2,1,3]
        解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
        因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
        

        示例 3：

        输入：numCourses = 1, prerequisites = []
        输出：[0]
        

        思路

        总体思路和上面一致，我们只需要在每次将入度为0的点顺序保存即为拓扑排序的顺序。

        代码

        class Solution {
        public:
            vector findOrder(int numCourses, vector>& prerequisites) {
                unordered_map> edges;
                vector in(numCourses,0);
                for(vector& e:prerequisites){
                    int a=e[0],b=e[1];
                    edges[b].push_back(a);
                    in[a]++;
                }
                queue q;
                vector ret;
                for(int i=0;i
                        q.push(i);
                        ret.push_back(i);
                    } 
                while(!q.empty()){
                    int t=q.front();
                    q.pop();
                    for(int e:edges[t]){
                        in[e]--;
                        if(in[e]==0){ 
                            q.push(e);
                            ret.push_back(e);    
                        }
                    }
                }
                for(int i:in) if(i) return {};
                return ret;
            }
        };
        

        1. 使用一个哈希表 edges 存储有向图的边，其中 edges[b] 表示节点 b 指向的所有节点。
        2. 使用数组 in 记录每个节点的入度。初始化时，将所有节点的入度设为 0。
        3. 遍历先修课程的关系，构建有向图并更新入度数组。
        4. 将入度为 0 的节点加入队列 q，同时将这些节点加入结果数组 ret 中。
        5. 使用 BFS 进行拓扑排序，从入度为 0 的节点开始，依次出队，并将其邻接节点的入度减 1。如果邻接节点的入度减为 0，将其加入队列和结果数组。
        6. 如果最终所有节点的入度都为 0，说明图中不存在环，返回拓扑排序结果；否则，返回空数组表示无法完成拓扑排序

        03.火星词典

        题目链接：https://leetcode.cn/problems/Jf1JuT

        现有一种使用英语字母的外星文语言，这门语言的字母顺序与英语顺序不同。

        给定一个字符串列表 words ，作为这门语言的词典，words 中的字符串已经 按这门新语言的字母顺序进行了排序 。

        请你根据该词典还原出此语言中已知的字母顺序，并 按字母递增顺序 排列。若不存在合法字母顺序，返回 "" 。若存在多种可能的合法字母顺序，返回其中 任意一种 顺序即可。

        字符串 s 字典顺序小于 字符串 t 有两种情况：

        • 在第一个不同字母处，如果 s 中的字母在这门外星语言的字母顺序中位于 t 中字母之前，那么 s 的字典顺序小于 t 。
        • 如果前面 min(s.length, t.length) 字母都相同，那么 s.length < t.length 时，s 的字典顺序也小于 t 。

          示例 1：

          输入：words = ["wrt","wrf","er","ett","rftt"]
          输出："wertf"
          

          示例 2：

          输入：words = ["z","x"]
          输出："zx"
          

          示例 3：

          输入：words = ["z","x","z"]
          输出：""
          解释：不存在合法字母顺序，因此返回 "" 。
          

          提示：

          • 1 <= words.length <= 100
          • 1 <= words[i].length <= 100
          • words[i] 仅由小写英文字母组成

            思路

            将题意搞清楚之后，这道题就变成了判断有向图时候有环，可以用拓扑排序解决。

            如何搜集信息（如何建图）：

            a. 两层for循环枚举出所有的两个字符串的组合；

            b. 然后利用指针，根据字典序规则找出信息。

            1. 使用哈希表 edges 存储字母之间的顺序关系，其中 edges[a] 表示字母 a 后面可以跟随的字母集合。
            2. 使用哈希表 in 记录每个字母的入度，即有多少字母在它之前。
            3. 使用布尔变量 cheak 标记是否出现了无效的字母顺序。
            4. 定义 add 函数，该函数比较两个单词 s1 和 s2，找到它们第一个不相同的字母，然后将这个字母的顺序关系添加到 edges 中。如果 s2 是 s1 的前缀，则将 cheak 设置为 true。
            5. 在构建字母之间的顺序关系时，遍历相邻的两个单词，调用 add 函数，如果 cheak 为 true，则直接返回空字符串。
            6. 使用队列 q 存储入度为 0 的字母，初始化队列时将所有入度为 0 的字母加入。
            7. 使用 BFS 进行拓扑排序，不断将入度为 0 的字母出队，并将其后面可以跟随的字母的入度减 1。将入度为 0 的字母加入结果字符串 ret 中。
            8. 最后检查所有字母的入度是否都为 0，如果不为 0，则说明有环，返回空字符串；否则，返回结果字符串 ret。

            代码

            class Solution {
                unordered_map> edges;
                unordered_map in;
                bool cheak=false;
                void add(string& s1,string& s2){
                    int n=min(s1.size(),s2.size());
                    int i=0;
                    while(i
                        if(s1[i]!=s2[i]){
                            char a=s1[i],b=s2[i];
                            if(!edges.count(a)||!edges[a].count(b)){
                                edges[a].insert(b);
                                in[b]++;
                            }
                            break;
                        }
                        i++;
                    }
                    if(i==s2.size()&&i& words) {
                    for(auto& s:words)
                        for(auto& ch:s)
                            in[ch]=0;
                    int n=words.size();
                    for(int i=0;i
                            add(words[i],words[j]);
                            if(cheak) return "";
                        }
                    
                    queue q;
                    for(auto& [a,b]:in)
                        if(b==0) q.push(a);
                    
                    string ret;
                    while(!q.empty()){
                        char t=q.front();
                        q.pop();
                        ret+=t;
                        for(char ch:edges[t])
                            if(--in[ch]==0) q.push(ch);
                    }
                    for(auto& [a,b]:in) if(b) return "";
                    return ret;
                }
            };
            

             
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